Rogers-Ramanujan 恒等式框架及其算术性质

两个 Rogers-Ramanujan $q$-级数 $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+\sigma)}}{(1-q)\cdots (1-q^n)},$$ 其中 $\sigma=0,1$，在数学和物理中扮演多种角色。根据 Rogers-Ramanujan 恒等式，它们本质上是模函数。它们的商，即 Rogers-Ramanujan 连分数，具有其奇异值为代数整单位的特殊性质。我们找到了一个框架，将 Rogers-Ramanujan 恒等式推广为双无限族的 $q$-级数恒等式。若 $a\in\{1,2\}$ 且 $m,n\geq 1$，则有 $$\sum_{\substack{\lambda \lambda_1\leq m}} q^{a|\lambda|} P_{2\lambda}(1,q,q^2,\dots;q^n) =\textrm{"无限积模函数"},$$ 其中 $P_{\lambda}(x_1,x_2,\dots;q)$ 为 Hall-Littlewood 多项式。这些 $q$-级数是仿射 Kac--Moody 代数的特殊化特征标。推广 Rogers-Ramanujan 连分数，我们在 $\textrm{A}_{2n}^{(2)}$ 的情形下证明了相关的 $q$-级数商为整单位。