通过精确求解递推关系对 $-\pi/4$ 的 Ramanujan Machine 恒等式的严格证明

我们证明了 Ramanujan Machine 项目猜想的一个关于常数 $-\pi/4$ 的多项式连分式恒等式。该证明通过显式求解底层的二阶线性差分方程来实现。我们推导了分母序列的闭式表达式，$q_n = (-1)^n (2n-3)!!\,(n^2+n-1)$，并通过 Wronskian 级数求和论证建立了绝对收敛性。极限值通过 Abel 求和化简为 Beta 函数积分，该积分通过初等代换和一次分部积分以闭式求值，得到精确值 $-\pi/4$。