基于算子解耦的四次型连分数恒等式解析证明

我们给出关于超越常数 $8/\pi^2$ 的一个广义连分数 (GCF) 恒等式的严格解析证明。该结果最近由 Ramanujan Machine 的算法框架予以猜测。与从经典超几何级数导出的标准 GCF 不同，本文中的恒等式具有由四次部分分子构成的复杂多项式结构。我们的做法利用二阶移位算子 $\mathcal{L} = \mathcal{T}^2 - b_n \mathcal{T} - a_n$ 的代数分解，将其分解为耦合的一阶系统。这种分解使得更高阶递推关系可映射到级联系统中，从而识别出该连分数是涉及中心二项系数的 $(\arcsin)^2$ 二项级数的倒数。通过 Pincherle 定理来建立收敛性：关联差分方程的真正最小解为 $f_n = A_n - (8/\pi^2)\,B_n$，满足 $f_n/B_n \to 0$，从而确认了连分数的绝对收敛性。本工作提供了一种系统性的算子理论方法，用于验证具有高阶多项式系数的超越常数自动猜测。