关于 3 级 Ramanujan 型级数猜想的证明

Ramanujan 型级数满足 $$\frac{1}{\pi} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left( \frac{1}{2} \right)_{n} \left( \frac{1}{s} \right)_{n} \left(1 - \frac{1}{s} \right)_{n} }{ \left( 1 \right)_{n}^{3} } z^{n} (a + b n),$$ 其中 $s \in \{ 2, 3, 4, 6 \}$，且 $a$、$b$ 和 $z$ 为实代数数。在 $s$ 的所有可能取值中，$s = 3$ 的 3 级情形被认为最为神秘且最具挑战性，这促使了构造 3 级 Ramanujan 型级数新技巧的发展。Chan 与 Liaw 引入了 Borwein 兄弟关于 3 级 Ramanujan 型级数恒等式的交替类比；随后，Chan、Liaw 与 Tian 借助 Ramanujan 类不变量给出了 Chan-Liaw 恒等式的另一种证明。利用椭圆 lambda 函数与椭圆 alpha 函数，我们通过 Kummer-Goursat 变换的一个极限情形证明了一个用于求取 $s = 3$ 且 $z < 0$ 的 Ramanujan 型级数中 $z$、$a$ 和 $b$ 的新恒等式，并将该新恒等式应用于证明 Aldawoud 于 2012 年通过 Maple 数值实验发现的三个二次无理 Ramanujan 型级数的猜想公式。我们还应用该恒等式证明了一个具有四次值 $z < 0$、$a$ 和 $b$ 的新 3 级 Ramanujan 型级数。