由 Gegenbauer 级数展开得到的新恒等式

利用 Fourier-Gegenbauer 级数展开，我们证明若干推广并推广已知结果的恒等式。特别地，除其他结果外，证明了对于满足 $\Re(z)>-\frac{1}{2}$ 且 $z\notin\frac{1}{2}+\mathbb{Z}$ 的所有复数 $z$，有 \begin{equation*} \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\frac{z-2n}{\binom{z-1/2}{n}}\binom{z}{n}^3 =\frac{\tan(\pi z)}{\pi} \end{equation*}。