关于伯努利多项式与欧拉多项式的恒等式

我们建立了关于伯努利多项式与欧拉多项式的两个一般性恒等式，它们属于新型且有许多推论。本文最引人注目的结果如下：若 $n$ 为正整数，$r+s+t=n$ 且 $x+y+z=1$，则有 $$rF(s,t;x,y)+sF(t,r;y,z)+tF(r,s;z,x)=0$$ 其中 $$F(s,t;x,y):=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{s}{k}\binom{t}{n-k}B_{n-k}(x)B_k(y).$$ 该对称关系蕴含了 Miki 与 Matiyasevich 的奇特恒等式，以及伯努利多项式的一些新恒等式，如 $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2B_k(x)B_{n-k}(x)=2\sum^n\Sb k=0 k\not=n-1\endSb\binom{n}{k}\binom{n+k-1}{k}B_k(x)B_{n-k}.$$