超几何级数、傅里叶-勒让德展开与欧拉和之间的相互作用

本文中我们继续研究超几何函数与傅里叶-勒让德($\textrm{FL}$)级数展开之间的相互作用。在“与 $\pi,\pi^2$ 及双纽线常数相关的超几何级数”一节中,通过 $\left[x(1-x)\right]^\mu$(其中 $\mu+1\in\frac{1}{4}\mathbb{N}$)的 FL 展开,我们证明了所有超几何级数 $$\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n(4n+1)}{p(n)}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^3,\quad \sum_{n\geq 0}\frac{(4n+1)}{p(n)}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^4,$$ $$\quad \sum_{n\geq 0}\frac{(4n+1)}{p(n)^2}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^4,\; \sum_{n\geq 0}\frac{1}{p(n)}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^3,\; \sum_{n\geq 0}\frac{1}{p(n)}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^2$$ 在 $p(x)$ 为满足适当对称性约束的多项式时,均返回 $\frac{1}{\pi},\frac{1}{\pi^2}$ 或双纽线常数的有理倍数。此外,通过计算 $\frac{\log x}{\sqrt{x}}$ 及相关函数的 FL 展开,我们表明在许多情况下在 $z=\pm 1$ 处求值的超几何 $\phantom{}_{p+1} F_{p}(\ldots , z)$ 函数可转化为欧拉和的组合。特别地,我们对 $$\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^2}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^2,\quad \sum_{n\geq 0}\frac{1}{(2n+1)^3}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^2$$ 进行了显式计算。在“扭曲超几何级数”一节中,我们表明由 FL 展开驱动的某些 $\phantom{}_{p+1} F_{p}(\ldots,\pm 1)$ 值向欧拉和组合的转化,同样适用于某些扭曲超几何级数,即形如 $\sum_{n\geq 0} a_n b_n$ 的级数,其中 $a_n$ 是第一类斯特林数且 $\sum_{n\geq 0}b_n z^n = \phantom{}_{p+1} F_{p}(\ldots;z)$。