关于超几何函数、完全椭圆积分与 Fourier-Legendre 展开之间的相互作用

受我们之前关于超几何函数和 parbelos 常数工作的启发，我们对广义完全椭圆积分、Fourier-Legendre (FL) 级数展开和 ${}_p F_q$ 级数之间的相互作用进行了更深入的研究。通过使用如下所述的积分方法，我们产生了新的超几何变换以及涉及调和数的新级数的封闭形式求值：令 $K$ 表示第一类完全椭圆积分，对于合适的函数 $g$，我们以两种不同方式计算如下积分 $$\int_{0}^{1} K\left( \sqrt{x} \right) g(x) \, dx$$：(1) 在变换或换元后，将 $K$ 展开为 Maclaurin 级数，然后逐项积分；以及 (2) 将 $g$ 展开为移位的 FL 级数，然后逐项积分。将这两种方法产生的表达式相等，通常能给我们带来新的封闭形式求值，例如涉及 Catalan 常数 $G$ 的公式 $$\sum _{n = 0}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{H_{n + \frac{1}{4}} - H_{n-\frac{1}{4}}}{16^{n} } = \frac{\Gamma^4 \left(\frac{1}{4}\right)}{8 \pi^2}-\frac{4 G}{\pi},$$ $$\sum _{m, n \geq 0} \frac{\binom{2 m}{m}^2 \binom{2 n}{n}^2 }{ 16^{m + n} (m+n+1) (2 m+3) } = \frac{7 \zeta (3) - 4 G}{\pi^2}.$$