关于$1/\pi$的截断超几何级数的渐近展开

本文考虑如下形式的有理超几何级数：$$\frac{p}{\pi}= \sum_{k=0}^\infty u_k\quad\text{with}\quad u_k=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)_k \left(q\right)_k \left(1-q\right)_k}{(k!)^3}(r+s\,k)\,t^k,$$ 其中$(a)_k$表示Pochhammer符号，$p,q,r,s,t$为代数系数。仅使用该级数的前$n+1$项，我们定义余项$$\mathcal{R}_n = \frac{p}{\pi} - \sum_{k=0}^n u_k=\sum_{k=n+1}^\infty u_k.$$ 我们考虑$\mathcal{R}_n$的渐近展开。更精确地，我们给出一个递推关系来确定系数$c_j$，使得$$\mathcal{R}_n = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)_n \left(q\right)_n \left(1-q\right)_n}{n!^3}nt^n\left(\sum_{j=0}^{J-1}\frac{c_j}{n^j}+\mathcal{O}\left(n^{-J}\right)\right),\qquad n \rightarrow \infty.$$ 这里我们需要$J<\infty$来近似$\mathcal{R}_n$，因为（类似于Stirling级数）当$J\rightarrow\infty$时该级数发散。通过将我们的递推关系应用于Chudnovsky公式，我们解决了Han和Chen提出的一个开放问题。