Ramanujan型级数中截断误差的渐近展开

许多已知最快的计算$\pi$的算法涉及广义超几何级数，例如Ramanujan-Sato级数。本文中，我们研究若干此类级数的收敛速率，并给出有限近似误差的渐近展开。例如，当使用Chudnovsky级数的前$n$项时，我们得到有限近似$\pi_n\approx \pi$。已知截断误差满足$|\pi_n-\pi|\approx 53360^{-3n}$。本文中，我们证明Chudnovsky级数中截断误差的渐近展开为$$\left|\pi_n-\pi\right|=53360^{-3n}\cdot\frac{{106720}\sqrt{{10005}\pi}}{{1672209}\sqrt{n}}\cdot\exp\left(\frac{A_1}{n}+\frac{A_2}{n^2}+\frac{\delta_n}{n^3}\right),$$其中${0.006907}<\delta_n<{0.008429}$，且$A_1$和$A_2$的精确有理值为：$$A_1= -\frac{1781843197433}{7456754505816},$$ $$A_2= -\frac{1080096011925710088395}{3475199235000451148614116}.$$因此我们展示了如何为通过类Ramanujan的$1/\pi$级数得到的$\pi$近似建立精确误差界。我们还在附录中给出了所有已知有理超几何$1/\pi$级数的渐近展开。