二次无理数的 Ramanujan 级数 $1/\pi$ 类比

大约40年前，Jonathan 和 Peter Borwein 发现了级数恒等式 $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(6n)!}{(3n)!(n!)^3} \frac{(A+nB)}{C^{n+1/2}} = \frac{1}{12\pi}$$ 其中 \begin{align*} A&=1657145277365+212175710912\sqrt{61},\cr B&=107578229802750+13773980892672\sqrt{61},\cr C&=\left(5280(236674+30303\sqrt{61})\right)^3 \end{align*} 每项大约增加25位精度。他们指出，如果将每个二次无理数 $A$、$B$ 和 $C$ 替换为它们的共轭量，即将每个数 $a+b\sqrt{61}$ 改为 $a-b\sqrt{61}$，则得到的级数也收敛到 $1/\pi$ 的有理数倍。他们给出了其他若干个二次无理数 $1/\pi$ 级数的例子，并指出共轭级数收敛到另一个有理数倍的 $1/\pi$ 或在某些情况下共轭级数发散。本文旨在提供对此类级数的解释和分类。我们的分类包括 Ramanujan 的17个原级数，以及 Borwein 系列、Chudnovsky 系列、Sato 系列等。我们将分类扩展到 genus-zero 子群 $\Gamma_0(\ell)+$，即对于每个 $\ell \in \big\{1,2,3,\ldots,36,38,39,41,42,44,45,46,47,49,50,51,54,55,56,59,60,62,66,69,70, 71,78,87,92,94,95,105,110,119\big\}$ 我们计算 Hauptmoduls、相关权重为2的模形式，以及对应的有理数和实二次无理数级数 $1/\pi$。该分类揭示了不同级数之间的许多联系。例如，我们表明上述 Borwein 级数及其共轭级数通过超几何变换公式等价于等级为7的有理级数 $$\sum_{n=0}^\infty \left\{\sum_{j=0}^n {n \choose j}^2{2j \choose n} {n+j \choose j}\right\} (11895n+1286) \frac{(-1)^n}{22^{3n+3}} = \frac{1}{\pi\sqrt{7}}.$$