通过反演方法由 Jackson 的 $_8\phi_7$-级数得到的 $\pi$-相关公式的 $q$-类比

利用扩展 Carlitz 反演级数关系的乘积形式，我们建立了 Jackson 良配 $_8\phi_7$-级数求和公式的两个一般“对偶”定理。探讨了其在剖分模式 $n=\lfloor{\frac{n}2}\rfloor+\lfloor{\frac{n+1}2}\rfloor$ 下的二重形式，得到众多 $q$-级数恒等式，其当 $q\to1$ 时的极限情形给出收敛速度为“$\frac1{16}$”的经典 $\pi$-相关类 Ramanujan 级数，包括 Guillera（2003）发现的一个关于 $1/\pi^2$ 的级数。在剖分模式 $n=\lfloor{\frac{n}3}\rfloor+\lfloor{\frac{n+1}3}\rfloor+\lfloor{\frac{n+2}3}\rfloor$ 下，通过“反向平分法”考察了三重对偶公式，由此得到二十个新 $q$-级数恒等式及其当 $q\to1$ 时收敛速度为“$\frac{-1}{27}$”的经典对应式。