关于某些 $\pi$ 与 $\pi^2$ 级数的 $q$-类比

我们得到经典 Leibniz 级数 $\sum_{k=0}^\infty(-1)^k/(2k+1)=\pi/4$ 的一个新的 $q$-类比，即 \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kq^{k(k+3)/2}}{1-q^{2k+1}}=\frac{(q^2;q^2)_{\infty}(q^8;q^8)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}(q^4;q^8)_{\infty}}, \end{equation*} 其中 $q$ 为满足 $|q|<1$ 的复数。我们还表明 Zeilberger 型级数 $\sum_{k=1}^\infty(3k-1)16^k/(k\binom{2k}k)^3=\pi^2/2$ 具有两个 $|q|<1$ 的 $q$-类比，其中之一为 $$\sum_{n=0}^\infty q^{n(n+1)/2} \frac {1-q^{3n+2}} {1-q} \cdot\frac{(q;q)_n^3 (-q;q)_n}{(q^3;q^2)_{n}^3} = (1-q)^2 \frac{(q^2;q^2)^4_\infty}{(q;q^2)^4_\infty}.$$