关于$\pi^3$的一个新级数及相关同余式

设$H_n^{(2)}$表示二阶调和数$\sum_{0<k\le n}1/k^2$，其中$n=0,1,2,\ldots$。本文得到如下恒等式：$$\sum_{k=1}^\infty\frac{2^kH_{k-1}^{(2)}}{k\binom{2k}k}=\frac{\pi^3}{48}.$$ 我们解释了如何发现该级数，并推导了涉及Bernoulli数或Euler数的相关同余式；例如，证明了对于任意素数$p>3$，有$$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{\binom{2k}k}{2^k}H_k^{(2)}\equiv-E_{p-3}\pmod{p}$$，其中$E_0,E_1,E_2,\ldots$为Euler数。受Amdeberhan-Zeilberger恒等式$\sum_{k=1}^\infty(21k-8)/(k^3\binom{2k}k^3)=\pi^2/6$的启发，我们还建立了对于每个素数$p>3$的同余式$$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{21k-8}{k^3\binom{2k}k^3}\equiv(-1)^{(p+1)/2}4E_{p-3}\pmod p$$。