欧拉公式 $\zeta(2)=\pi^2/6$ 的两个 $q$-类比

众所周知，欧拉发现的 $\zeta(2)=\pi^2/6$。本文给出这一著名公式的如下两个 $q$-类比：$$\sum_{k=0}^\infty\frac{q^k(1+q^{2k+1})}{(1-q^{2k+1})^2}=\prod_{n=1}^\infty\frac{(1-q^{2n})^4}{(1-q^{2n-1})^4}$$ 以及 $$\sum_{k=0}^\infty\frac{q^{2k-\lfloor(-1)^kk/2\rfloor}}{(1-q^{2k+1})^2} =\prod_{n=1}^\infty\frac{(1-q^{2n})^2(1-q^{4n})^2}{(1-q^{2n-1})^2(1-q^{4n-2})^2},$$ 其中 $q$ 为任意满足 $|q|<1$ 的复数。我们还给出了恒等式 $\zeta(4)=\pi^4/90$ 的一个 $q$-类比，并提出了关于 $\zeta(2m)\ (m=3,4,\ldots)$ 的欧拉公式 $q$-类比的一个问题。