论倒数级数之和
历史与综述
2008-02-05 v2 数论
摘要
本译文已发表于 Stephen Hawking 编、《God Created the Integers》（2007 年由 Running Press 出版）一书中。最终出版版本与本副本之间可能存在某些改动。这是拉丁文原文《De summis serierum reciprocarum》（1735）的译文，对应 Enestrom 索引中的 E41。在这篇论文中，Euler 给出了正整数倒数平方和的确切表达式，即 pi^2/6。他通过将多项式的根与系数关系的 Newton 恒等式应用于正弦函数的幂级数来展示这一结果。事实上，换言之该结果为 zeta(2)=pi^2/6，并且 Euler 还算出了 zeta(4)、zeta(6)、…、zeta(12)。他的方法可对所有的 n 算出 zeta(2n)，但他并未给出 zeta(2n) 的一般表达式；他在后来的一篇论文中给出了涉及 Bernoulli 数的一般表达式。
引用
@article{arxiv.math/0506415,
title = {On the sums of series of reciprocals},
author = {Leonhard Euler},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0506415},
year = {2008}
}
备注
8 pages, 1 figure