$\beta(2n)$ 的欧拉型公式与一类 zeta 级数的封闭形式表达式

在最近的工作中，Dancs 和 He 找到了 $\,\zeta{(2\,n+1)}$（$\,n\,$ 为正整数）的欧拉型公式，其中包含一个他们无法化为有限封闭形式的级数。这个开放性问题揭示了与 $\zeta(2n)$ 相比更大的复杂性，后者是 $\pi^{2n}$ 的有理数倍。对于 Dirichlet beta 函数，情况是“相反的”：$\beta(2n+1)$ 是 $\pi^{2n+1}$ 的有理数倍，而 $\beta(2n)$ 没有已知的封闭形式表达式。在本文中，我修改了 Dancs-He 方法，以推导 $\,\beta{(2n)}$ 的欧拉型公式，包括 $\,\beta{(2)} = G$（即 Catalan 常数）。我还将所得级数转化为 zeta 级数，这为涉及 $\,\beta{(2n)}$ 和有限个奇数 zeta 值的一类 zeta 级数产生了新的精确封闭形式表达式。此外，对某个特定 zeta 级数的封闭形式表达式也给出了猜想。