Reynolds 润滑近似及其高阶修正的实用误差估计

Reynolds 润滑近似被广泛用于研究运动机械部件之间、狭窄通道内以及薄膜中的流动。Reynolds 方程的解可以被视为 Stokes 方程解按区域纵横比 $\epsilon$ 的幂展开的零阶项。在本文中，我们展示了如何在二维 $x$-周期域上计算该展开式中任意阶的项，并为精确解与截断展开解之间的差异推导了严格的先验误差界。与以往此类研究不同，我们误差界中的常数要么独立于描述几何形状的函数 $h(x)$，要么以显式且直观的方式依赖于 $h$ 及其导数。具体而言，如果展开式截断至 $2k$ 阶，则误差为 $O(\epsilon^{2k+2})$，且 $h$ 仅通过其一阶和三阶逆矩 $\int_0^1 h(x)^{-m} dx$（$m=1,3$）以及最大范数 $\big\|\frac{1}{\ell!} h^{\ell-1} \partial_x^\ell h\big\|_\infty$（$1\le\ell\le2k+2$）进入误差界。我们通过与有限元解的比较验证了我们的估计，并提供了数值证据表明，即使 $h$ 是实解析且周期的，展开解也形成渐近级数而非收敛级数。