Rn中的改进一阶展开公式：在插值与有限元误差估计中的应用

本文旨在推导Rn中的改进一阶展开公式，其目标相较于通常泰勒公式所得余项，获得最优的缩减余项。对于给定的函数，我们所推导的公式通过引入在$n+1$个等距点处计算的一阶导数的线性组合得到。我们展示了该公式如何应用于两个重要问题：插值误差与有限元误差估计。在这两种情形下，我们阐明了在何种条件下可获得误差的显著改善，即如何使用该改进展开式降低误差估计的上界。