Chudnovsky 算法的扩展

利用最近通过对 Borwein 兄弟关于 1 级 Ramanujan 型级数的公式进行解析延拓而获得的 Chudnovsky 兄弟级数的无限推广族，我们将 Gauss-Salamin-Brent 迭代应用于 $\pi$，以获得一个新的 Ramanujan 型级数，其每项产生的位数相对于当前世界纪录（由 Bagis 和 Glasser 对 Chudnovsky 算法的扩展给出，每项约产生 110 位）更多。我们显式计算了求和中涉及的 $\mathbb{Q}$ 上的嵌套根式，其每项产生约 153 位，并提供了一种通过 PARI/GP 系统实现我们高阶版本 Chudnovsky 算法的实用方法。Berndt 和 Chan 对其 3315 阶 Chudnovsky 兄弟 Ramanujan 型级数扩展相关的模 $j$-不变量的评估，为我们应用椭圆 lambda 和椭圆 alpha 函数的递归提供了关键。