分拆函数渐近展开的误差界

关于分拆函数 $p(n)$ 的渐近研究始于 Hardy 和 Ramanujan 的工作。后来 Rademacher 得到了 $p(n)$ 的一个收敛级数，并由 Lehmer 给出了误差界。尽管如此，带有显式误差界的 $p(n)$ 的完整渐近展开尚属未知。最近 O'Sullivan 研究了由 Wright 开创的 $p^{k}(n)$（分拆为 $k$ 次幂）的渐近展开，并由此得到了 $p(n)$ 的渐近展开以及对展开中涉及系数的简洁描述，但没有任何误差项的估计。在此，我们对通过在任何正整数 $n$ 处截断 $p(n)$ 的渐近展开所获得的误差项估计进行了详尽而全面的分析。这给出了一族关于 $p(n)$ 的无穷不等式，最终回答了 Chen 提出的一个问题。我们的误差项估计主要依赖于符号求和中的算法方法的应用。