具有最优误差界的Landau常数渐近展开

我们研究Landau常数G_n的渐近展开：π G_n ~ ln N + γ + 4 ln 2 + ∑_{s=1}^∞ β_{2s}/N^{2s}, n→∞，其中N=n+3/4，γ=0.5772...是欧拉常数，(-1)^{s+1}β_{2s}是正有理数，以迭代方式显式给出。我们证明，截断误差的绝对值以第一个被忽略项为界，且符号相同，对所有非负n成立。因此，我们得到了任意阶的最优尖锐界：ln N+γ+4 ln 2+∑_{s=1}^{2m} β_{2s}/N^{2s} < π G_n < ln N+γ+4 ln 2+∑_{s=1}^{2k-1} β_{2s}/N^{2s}，对所有n=0,1,2,...，m=1,2,...，k=1,2,...成立。结果通过用涉及的高斯超几何函数逼近系数β_{2s}，并利用G_n满足的二阶差分方程以及常数ρ_k=(-1)^{k+1}β_{2k}/(2k-1)!的积分表示来证明。