k-殆素数的渐近密度

Landau 著名的渐近公式 $$N_k(x):=\ \mid\{n\leq x : \Omega(n)=k\}\mid \ \sim \left( \frac{x}{\log x} \right) \frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k - 1)!}\ \ (x \rightarrow \infty),$$ 对 $$\pi_k(x):=\ \mid\{n\leq x : \omega(n)=k\}\mid,$$ 同样成立，已知其在 $k > 1$ 时相当不精确；并且当允许 $k$ 随 $x$ 趋于无穷时，对 $N_k(x)$ 和 $\pi_k(x)$ 的研究变得非常技术化 [1, Chapter II.6, $\S$ 6.1, p.200]。我希望表明，下文所述方法不仅提供了一种更精确的途径，而且其渐近精度随 $k$ 趋于无穷而提高。