d'Arcais 数在小 $k$ 处的渐近性

d'Arcais 数是三角阵列 $\{A(2,n,k)\, :\, n=0,1,\dots,\, k=0,\dots,n\}$，满足 $\sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{n} A(2,n,k) x^k z^n/n! = ((z;z)_{\infty})^{-x}$。无穷 $q$-Pochhammer 符号定义为 $(q;q)_{\infty} = \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^n)$。固定 $k$ 并考虑大 $n$ 时，我们注意到比值 $k! A(2,n,k)/n!$ 渐近于 $C(k) \sigma_{2k-1}(n)/n^k$，其中约数和函数为 $\sigma_p(n) = \sum_{d|n} d^p$，且 $C(k) = (\zeta(2))^k/(\Gamma(k) \zeta(2k))$。这是 Ramanujan 在其论文《On Certain Arithmetical Functions》中一个公式的略微推广，也是 Oliver, Shreshta 和 Thorne 近期文章的直接推论。Heim 和 Neuhauser 曾提出猜想：对于 $k=2,3,\dots$ 及所有 $n$，$A(2,n,k)/A(2,n,k-1)$ 大于或等于 $A(2,n,k+1)/A(2,n,k)$。该猜想对于 $k=2$ 不成立，而对于 $k=3,4,\dots$ 且 $n$ 充分大时成立。我们将 Hardy-Ramanujan 圆法作为启发式步骤加以考虑。