齐次多项式冯·诺依曼不等式的渐近估计

根据齐次多项式的冯·诺依曼不等式，存在一个正常数 $C_{k,q}(n)$，使得对于任意 $n$ 个变量中的 $k$ 次齐次多项式 $p$ 和任意满足 $\sum_{i=1}^{n} \Vert T_{i} \Vert^{q} \leq 1$ 的 $n$ 元交换算子组 $(T_1, \dots, T_n)$，我们有 $$\|p(T_1, \dots, T_n)\|_{\mathcal L(\mathcal H)} \leq C_{k,q}(n) \; \sup\{ |p(z_1, \dots, z_n)| : \textstyle \sum_{i=1}^{n} \vert z_{i} \vert^{q} \leq 1 \}\,.$$ 对于固定的 $k$ 和 $q$，我们研究了当 $n$（变量/算子的数量）趋于无穷大时，最小常数 $C_{k,q}(n)$ 的渐近增长。对于 $q = \infty$，我们获得了该常数的正确渐近行为（回答了 Dixon 在七十年代提出的问题）。对于 $2 \leq q < \infty$，我们改进了 Mantero 和 Tonge 给出的一些下界，并证明了其对数因子范围内的渐近行为。为此，我们提供了齐次单模 Steiner 多项式（即非零系数对应的多重索引构成部分 Steiner 系统的多项式）范数的估计。