连分数数字平均值与 Maclaurin 不等式

Khinchin 的一个经典结果表明，对于几乎所有实数 $\alpha$，其连分数展开中前 $n$ 个数字 $a_i(\alpha)$ 的几何平均值在 $n \to \infty$ 时收敛于常数 $K = 2.6854520\ldots$（Khinchin 常数）。另一方面，对于几乎所有 $\alpha$，前 $n$ 个连分数数字 $a_i(\alpha)$ 的算术平均值在 $n \to \infty$ 时趋于无穷大。存在一系列对 AM-GM 不等式的改进，即 Maclaurin 不等式，它关联了 $n$ 个数的第 $k$ 个初等对称平均值的 $1/k$ 次幂（其中 $1 \leq k \leq n$）。在左端（当 $k=n$ 时）我们得到几何平均值，而在右端（$k=1$ 时）我们得到算术平均值。我们分析了当从任一极端移动 $f(n)$ 步时，典型实数的连分数数字平均值在极限情况下的行为。我们证明了关于 $f(n)$ 的充分条件，以确保当从算术平均值移动 $f(n)$ 步时发散，而当从几何平均值移动 $f(n)$ 步时收敛。对于典型的 $\alpha$，我们猜想 $f(n)=cn$（$0<c<1$）时的行为。我们还研究了二次无理数 $\alpha$ 的此类平均值的极限行为，提供了严格的结果以及数值支持的猜想。