基于负连分数的丢番图逼近

我们证明了对于几乎处处的 $x$，$x$ 的负展开式第 $n$ 个收敛子的分母 $Q_n$ 的增长率与逼近速率满足：$$\frac{\log{n}}{n}\log{\left|x-\frac{P_n}{Q_n}\right|}\rightarrow -\frac{\pi^2}{3} \quad \text{in measure.}$$ 在证明过程中，我们重新证明了已知的启发性结果：负连分数数字算术平均依测度收敛于 3，尽管其下极限几乎处处为 2，上极限几乎处处为无穷。