连分数渐近分数的分母

对于任意实数 $x \in [0,1)$，我们用 $q_n(x)$ 表示 $x$ 的连分数展开的第 $n$ 个渐近分数的分母（$n \in \mathbb{N}$）。众所周知，使得 $\log q_n(x)/n$ 偏离 $\pi^2/(12\log2)$ 的点集 $x \in [0,1)$ 的勒贝格测度，当 $n$ 趋于无穷大时衰减至零。在本文中，我们通过给出一个上界和一个下界来研究这种衰减的速率。有趣的是，该上界与 $\log q_n(x)/n$ 的水平集的豪斯多夫维数密切相关。作为一个推论，我们得到了 $\log q_n(x)/n$ 的一个大偏差类型的结果，这表明该衰减速率是指数级的。