$(N,\alpha)$-展开式的（非）匹配与（非）周期性

近来，对每个 $N\in\mathbb{N}$、$N\geq 2$ 且 $\alpha \in (0,\sqrt{N}-1]$，引入了一类新的连分数算法，即 $(N,\alpha)$-展开式。这些连分数算法各自仅有有限多个可能的数字。这些 $(N,\alpha)$-展开式的行为与许多其他（经典）连分数算法非常不同。在本文中，我们将证明当数字集中所有数字均与 $N$ 互素时（这发生在参数空间的特定区间内），会发生非同寻常的现象。有理数和某些二次无理数将不具有周期展开式。此外，在这些区域中不存在匹配区间。这与正则连分数及更经典的参数化连分数算法形成鲜明对比，后者通常证明匹配对几乎所有参数成立。另一方面，当 $\alpha$ 足够小时，所有有理数都具有周期为1的最终周期展开式。当 $N=2$ 时，这对所有 $\alpha$ 均成立。我们还发现了 $N=2$ 时的无穷多个匹配区间，以及不包含于任何匹配区间中的有理数。