特殊函数$e^{x}E_{1}(x)$的有理函数逼近及在欧拉-贡珀茨常数$\delta$无理性中的应用

在\cite{d4}中，我们给出了构造函数$F(x):=e^{x}E_{1}(x)$连分式的一种方法。更确切地说，我们定义$F_{1}(x)$为$F(x)$的倒数，并归纳地定义$F_{m}(x)$为“$F_{m-1}(x)$减去其在无穷远处的主项”的倒数。我们利用\cite[Proposition 2.1]{d4}计算了$F_{m}(x)$在无穷远处的主项。该方法类似于实数的正则连分式展开。\\ \ \ \ \ 本文中，我们遵循正无理实数$\alpha$的正则连分式收敛于$\alpha$的证明，证明该连分式对任意正实数$x>0$收敛于$F(x)$。本质上我们证明了$Q_{m}(x)$的不等式（定理4.1中）以及不等式$F_{m}(x)>0$（第5节中）。特别地，我们证明了更强的不等式$\displaystyle\frac{P_{2k}(x)}{Q_{2k}(x)}<F(x)<\displaystyle\frac{P_{2k-1}(x)}{Q_{2k-1}(x)}$（强于$F_{m}(x)>0$）并给出了其两种证明。在第6节中，我们利用经典拉盖尔多项式的性质给出了$Q_{2k}(x)$与$Q_{2k-1}(x)$之间的渐近关系。在第7节中，我们考虑欧拉-贡珀茨常数$\delta$。据我们所知，$\delta$的无理性仍是一个开放问题。我们构造有理数列$\displaystyle\frac{A_{i}}{B_{i}}\ (i=1,2,3,\cdots)$使得当$i$趋于无穷时$\delta B_{i}-A_{i}$趋于0，并给出对任意正整数$i$有$\delta B_{i}-A_{i}\neq 0$的一个充分条件。因此，若证明该条件成立，则完成了欧拉-贡珀茨常数$\delta$无理性的证明。