G-函数值的有理逼近及其在整数基下的展开

基于 André 和 Chudnovsky 的先前工作，我们证明了一个一般结果：对于任意具有有理泰勒系数的 G-函数 F，其在有理点 a/b 的值可被形如 n/(B $\times$b^m) 的分数逼近，其中整数 B 固定。作为推论，我们表明若 F 不属于 Q(z)，则对任意 $\epsilon$ > 0，只要 b 和 m 相对于 a、$\epsilon$ 和 F 足够大，就有 |F (a/b) -- n/b^m | $\ge$ 1/b^{m(1+$\epsilon$)}。这使我们获得了关于当 b $\ge$ 2 时 F (a/b) 的 b 进制展开中模式重复的新结果。特别地，定义 N (n) 为从 F (a/b^s) 的 b 进制展开中第 n 位数字开始的连续相同数字的个数，我们证明只要整数 s $\ge$ 1 满足 b s 相对于 a、$\epsilon$ 和 F 足够大，就有 lim sup N (n)/n $\le$ $\epsilon$。这朝着如下猜想迈进了一步：当 F (a/b) 为无理数时该极限应等于 0。我们所有结果都是有效的。