拉马努金展开的收敛性，I [拉马努金云上的乘性]

我们称 $R_G(a):=\sum_{q=1}^{\infty}G(q)c_q(a)$ 为系数 $G:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ 的“拉马努金级数”，其中 $c_q(a)$ 是著名的拉马努金和。我们研究该级数的收敛性（这是研究拉马努金展开，并在 $R_G(a)$ 对所有自然数 $a$ 逐点收敛时定义 $G$ 为“拉马努金系数”的预备步骤）。此时，$R_G:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ 良定义（“w-d”）。固定函数 $F:\mathbb{N}\to\mathbb{C}$ 的“拉马努金云”定义为 $<F>:=\{G:\mathbb{N}\to \mathbb{C}|R_G\; w-d, F=R_G\}$（见附录）。我们详细研究乘性拉马努金系数 $G$：其 $<F>$ 子集称为“乘性拉马努金云” $<F>_M$。我们的第一个主要结果，关于乘性 $G$ 的“有限收敛定理”，在诸多等价于“$R_G$ 良定义”的性质中，将收敛性检验归约为有限集，即 $R_G$ w-d 等价于：对所有整除 $N(G)\in\mathbb{N}$ 的 $a$，$R_G(a)$ 收敛，我们称 $N(G)$ 为“拉马努金导子”。我们的第二个主要结果，关于乘性拉马努金系数 $G$ 的“有限欧拉积显式公式”，将 $F=R_G$ 写为有限欧拉积；因此 $F$ 是半乘性函数（依 Rearick 定义），且该乘积是 $F$ 的 Selberg 分解。特别地，我们有：$F(a)=R_G(a)$ 绝对收敛，因为是有限的（长度依赖于 $a$ 的非零 $p$-进赋值）。我们的第三个主要结果，称为“乘性拉马努金云”，研究了 $<F>_M$ 的重要子集；并对所有乘性 $F$ 给出“典范拉马努金系数” $G_F\in <F>_M$，证明：任意乘性 $F$ 都具有带乘性系数的有限拉马努金展开。