借助树函数证明 Ramanujan 笔记中一级数显式公式

我们证明了 Vigren 与 Dieckmann 近期关于 Ramanujan 笔记中一阶数的显式三重求和公式的猜想。我们将给出两个证明：第一个基于求值并利用恒等式 \begin{equation*} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x+k)^{m+k}}{k!}e^{-u(x+k)} u^k = \sum_{j=0}^\infty \sum_{i=0}^{m}\binom{m+j}{i} \stirl{m+j-i}{j}x^iu^j, \end{equation*} 其中 $\genfrac\{\}{0pt}{}{n}{k}$ 为第二类 Stirling 数；第二个本质上为组合证明并通过归纳法完成。