关于 Ramanujan 有关分拆与 tau 函数的“未发表”手稿中的若干断言

Ramanujan 在生命末期写了一篇关于分拆与 tau 函数性质的手稿，其中部分内容直到最近才发表。尽管如此，该手稿引发了大量后续工作。在其中 Ramanujan 考虑了 $\tau(n)$ 模某些特殊素数 q 的同余式。例如他证明 $\tau(n)\equiv \sum_{d|n}d^{11}({\rm mod}691)$。他定义当 $\tau(n)$ 不被 q 整除时 $t_n=1$，否则 $t_n=0$。他随后典型地写道：“可用超越方法证明 $$\sum_{k=1}^n t_k=C\int_1^n {dx\over (\log x)^{\delta}}+O({n\over (\log n)^r}).$$ 其中 r 为任意正数”（在给出上述和的一些较弱估计之后）。数 $\delta$ 为依赖于 q 的正有理数，而对正数 C Ramanujan 通常写下一个 Euler 乘积。本文表明 Ramanujan 对每一 $r>1+\delta$ 及每个特殊素数 q 的断言是错误的。此外，我们修正了 Geraldine Stanley 1928 年声称在 q=5 情形反驳了 Ramanujan 断言的论文。