解析函数表示为无穷乘积及其在数值计算中的应用

设 $D$ 为 $\mathbb C$ 中半径 $\le 1$ 的开圆盘，并设 $(\epsilon_n)$ 为 $\pm 1$ 的序列。我们证明，对于 $D$ 中无零点的每个解析函数 $f: D \to \mathbb C$，存在唯一的复数序列 $(\alpha_n)$，使得对于每个 $z \in D$，$f(z) = f(0)\prod_{n=1}^{\infty} (1+\epsilon_nz^n)^{\alpha_n}$。从这一表示法中，我们得到了一种计算形如 $\prod_{p \text{prime}} f(1/p)$ 的乘积的数值方法，前提是 $f(0)=1$ 且 $f'(0) = 0$；我们的方法推广了 Pieter Moree 的一个著名方法。我们在 Ramanujan 常数 $\pi^{-1/2}\prod_{p \text{prime}} \sqrt{p^2-p}\ln(p/(p-1))$ 上演示了该方法。从指数 $\alpha_n$ 的性质出发，我们得到了以下同余式的证明，这些同余式一直是受 Arnold 某些问题启发而发表的几篇近期论文的主题：对于每个 $n \times n$ 整数矩阵 $A$、每个素数 $p$ 以及每个正整数 $k$，有 $\text{tr} A^{p^k} \equiv \text{tr} A^{p^{k-1}} (\text{mod}\,{p^k})$。