关于提升到正实数次幂的无穷 Borwein 乘积

本文研究任意素数 $p$ 的无穷 Borwein 乘积 $\prod_{n\ge 1}[(1-q^n)/(1-q^{pn})]^\delta$ 在 $q$-级数展开中出现的系数性质，该乘积被提升到任意正实数次幂 $\delta$。我们使用 Hardy--Ramanujan--Rademacher 圆方法给出系数的渐近公式。对于 $p=3$，我们给出其增长的估计，这使我们能够部分确认第一作者先前的猜想，该猜想涉及当指数 $\delta$ 在指定正实数范围内时观察到的系数符号模式。我们进一步建立了无穷 Borwein 乘积立方的系数的若干消失与可除性质。最后以附录给出若干关于提升到实数次幂的无穷乘积精确符号模式的新猜想，这些猜想类似于我们在 $p=3$ 情形中所提出的猜想。