关于某些取遍素数的乘积

本文致力于研究形如 $\prod_{p} p^{\lfloor\frac{x}{f(p)}\rfloor}$ 的某些表达式，其中 $x$ 是非负实数，$f$ 是满足某些条件的算术函数，乘积取遍素数 $p$。我们首先证明此类表达式可借助 $\mathrm{lcm}$ 函数表示，而无需任何对素数的引用；我们用若干例子说明该结果。本文其余部分致力于研究与 $f(m) = m$ 和 $f(m) = m - 1$ 相关的两个特例。在两种情况下，我们均发现了底层表达式的算术性质与解析估计。我们还针对 $f(m) = m - 1$ 的情形提出一个重要猜想，其依赖于对一种特殊形式素数的计数。