具有强 $B$-乘性指数的无穷乘积

令 $N_{1,B}(n)$ 表示整数 $n$ 的 $B$ 进制展开式中 1 的个数。Woods 引入了无穷乘积 $P :=\prod_{n \geq 0} (\frac{2n+1}{2n+2})^{(-1)^{N_{1,2}(n)}}$，Robbins 证明了 $P = 1/\sqrt{2}$。多位作者研究了相关的乘积。我们表明，用于证明 $P^2 = 1/2$（已知 $P$ 收敛）的一种技巧可以扩展用于评估具有（广义）强 $B$-乘性指数的新乘积。一个简单的例子是 $$\prod_{n \geq 0} (\frac{Bn+1}{Bn+2})^{(-1)^{N_{1,B}(n)}} = \frac{1}{\sqrt B}。$$