自由积与 amalgamated 积的指数增长率

我们证明，对于不同构于无限二面体群的自由积 $G=A*B$，其指数增长率在 $\sqrt{2}$ 与 $(1+\sqrt{5})/2$ 之间存在间隙。对于满足 $([A:C]-1)([B:C]-1)\geq2$ 的 amalgamated 积 $G=A*_C B$，我们通过证明 amalgamated 积 $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{Z})\cong (C_2\times C_2) *_{C_2} D_6$ 的指数增长率等于多项式 $z^3-z-1$ 的唯一正根，表明可以实现低于 $\sqrt{2}$ 的指数增长率。这回答了 Avinoam Mann 提出的两个问题 [The growth of free products, Journal of Algebra 326, no. 1 (2011) 208--217]。