融合自由积与 RAAG 中 scl 的间隙

我们发展了一个新判据以判断群 $G$ 是否在稳定交换子长度（scl）上具有 $1/2$ 的极大间隙。对于融合自由积 $G = A \star_C B$，我们证明只要 $C$ 作为左相对凸子群嵌入 $A$ 与 $B$ 两者中，则 $G$ 的交换子子群中每个不共轭进入 $A$ 或 $B$ 的元素 $g$ 满足 $scl(g) \geq 1/2$。我们由此推得直角 Artin 群 $G$ 的交换子子群中每个非平凡元素 $g$ 满足 $scl(g) \geq 1/2$。该界是锐的，且被所有特殊立方复形的基本群所继承。我们通过构造显式极值齐次拟同态 $\bar{ \phi} : G \to \mathbb{R}$ 满足 $\bar{ \phi }(g) \geq 1$ 与 $D(\bar{\phi})\leq 1$ 来证明这些陈述。此类映射此前未知，即便对非交换自由群亦然。对于这些拟同态 $\bar{\phi}$，存在圆上的作用 $\rho : G \to Homeo^+(S^1)$ 使得 $[\delta^1 \bar{ \phi}]=\rho^*eu^{\mathbb{R}}_b \in H^2_b(G,\mathbb{R})$，其中 $eu^\mathbb{R}_b$ 为实有界 Euler 类。