自由积与微分同胚群的代数结构

设$M$为紧一维流形，令$\mathrm{Diff}^{1+\mathrm{bv}}(M)$表示$M$的$C^1$保向微分同胚群，其导数具有有界变差。我们证明如果$G$是一个非几乎亚交换(virtually metabelian)的群，则$(G\times\mathbb{Z})*\mathbb{Z}$不被实现为$\mathrm{Diff}^{1+\mathrm{bv}}(M)$的子群。这给出了首批有限生成群$G,H\le \mathrm{Diff}_+^\infty(M)$使得$G\ast H$不嵌入$\mathrm{Diff}^{1+\mathrm{bv}}(M)$的例子。相比之下，对于所有可数群$G,H\le\mathrm{Homeo}^+(M)$，存在嵌入$G\ast H\to \mathrm{Homeo}^+(M)$。我们推断许多常见的同胚群不嵌入$\mathrm{Diff}^{1+\mathrm{bv}}(M)$，例如$\mathbb{Z}$与汤普森群$F$的自由积。我们还完成了可在$M$上光滑作用的直角阿廷群的分类，特别地，恢复了作者与Baik的联合工作的主要结果。即，直角阿廷群$A(\Gamma)$要么在$M$上有忠实的$C^{\infty}$作用，要么$A(\Gamma)$在$M$上没有忠实的$C^{1+\mathrm{bv}}$作用。在前一种情况下，$A(\Gamma)\cong\prod_i G_i$，其中$G_i$是自由阿贝尔群的自由积。最后，我们发展了直角阿廷群的层次结构，其层次对应于这些群在$S^1$上作用的可能半共轭类的数量。