关于具有少量生成元的右角 Artin 群的子群

对于每个自然数 $d$，我们构造了一个由 3 个生成元生成的群 $H_d$，它是自由群的直积子群，且其同调维数为 $d$。给定一个群 $F$ 及其正规子群 $N \lhd F$，我们证明了任何包含关于 $N$ 的 $F$ 的特殊 HNN-扩张的右角 Artin 群，也必须包含 $F/N$。我们应用此结论构造了对于每个 $d \in \mathbb{N}$ 的一个由 4 个生成元生成的群 $G_d$，该群可嵌入到右角 Artin 群中，使得 $G_d$ 的同调维数为 2，但任何包含 $G_d$ 的右角 Artin 群的同调维数至少为 $d$。这些例子被用于证明某些“通用”右角 Artin 群的不存在性。我们还研究了极限群直积的有限展示子群。特别地，我们证明了对于每个 $n\in \mathbb{N}$，存在 $\delta(n) \in \mathbb{N}$，使得任何由 $n$ 个生成元生成的、有限多个自由群直积的有限展示子群，均可嵌入到秩为 2 的自由群的 $\delta(n)$ 次直幂中。作为另一个推论，我们得出任何由 $n$ 个生成元生成的有限展示剩余自由群均可嵌入到至多 $\delta(n)$ 个极限群的直积中。