B 型与 D 型 Artin 群

我们证明了每个 $B_n$ 型和 $D_n$ 型 Artin 群均可表示为半直积 $F \rtimes {\cal B}_n$,其中 $F$ 为自由群,${\cal B}_n$ 为 $n$-弦辫群。我们解释了这些半直积结构如何相当自然地由纤维化产生,并注意到在每种情形下,辫群 ${\cal B}_n$ 在自由群 $F$ 上的作用都是经典的。我们证明,对于上述每个半直积,保持正规子群 $F$ 不变的自同构群都很小:即 ${\rm Out}(A(B_n),F)$ 的阶为 2,而 ${\rm Out}(A(D_n),F)$ 在 $n$ 为偶数时阶为 4,在 $n$ 为奇数时阶为 2。已知 $D_n$ 型 Artin 群可视为某个 orbifold 上的 $n$-弦辫群的指数为 2 的子群。应用相同的技巧,我们证明后一个群的外自同构群的阶为 2。最后,我们确定了所有秩 2 的 Artin 群的自同构群。