半直积对树的保持

我们证明了群 $C$ 与 $A*_D B$ 的半直积同构于 $A\rtimes C$ 与 $B\rtimes C$ 在 $D\rtimes C$ 处的自由积，其中 $A$、$B$ 和 $C$ 为任意群。此外，我们应用该定理证明：任意群 $G$ 若在树 $T$ 上无反演地作用，且 $T$ 的商图含有一段 $\Gamma$，使得 $\Gamma$ 在 $T$ 中提升的顶点集 $\{\,P,Q\,\}$ 与边 $y$ 的稳定子群形如 $G_{P}\!\rtimes H$、$G_{Q}\!\rtimes H$ 与 $G_{y}\! \rtimes H$，则 $G$ 同构于 $H$ 与 $(\,G_P \,*_{G_y} \,G_Q \,)$ 的半直积。利用我们的结果，我们以非标准验证得出结论：$GL_2(\mathbb{Z})$ 同构于二面体群 $D_4$ 与 $D_6$ 在其 Klein 四元群处的自由积。