自由半群oid 代数与第一上 cohomology 群

本文研究了计数或不可数有向图 $G$ 的自由半群oid 代数 $\mathfrak{L}_G$ 及其范数闭版本——张量代数 $\mathcal{A}_G$ 的导数。我们首先在 $G$ strongly connected 时为 $\mathfrak{L}_G$ 证明了一个弱的 Dixmier 逼近定理。利用该定理，我们证明如果 $G$ 的每个连通分支均为 strongly connected，则 $\mathcal{A}_G$ 到 $\mathfrak{L}_G$ 的每个有界导数均可表示为 $\delta=\delta_T$，其中 $T\in\mathfrak{L}_G$ 且 $\|T\|\leqslant\|\delta\|$。对于任意有限有向图 $G$，我们还证明当且仅当 $G$ 的每个连通分支要么是 strongly connected，要么是果树时，$H^1(\mathcal{A}_G,\mathfrak{L}_G)$ 为零。为了处理无限有向图，我们引入交替数并提出 \Cref{conj intro-in-tree}。若 $G$ 的每个连通分支均不为 strongly connected，我们证明如果从 $\mathcal{A}_G$ 到 $\mathfrak{L}_G$ 的每个有界导数均为内部的，则 $G$ 的每个连通分支是广义果树且 $G$ 的交替数 $A(G)$ 为有限。若该猜想成立，反向结论也成立。最后，我们给出一些自由半群oid 代数及其非平凡第一上 cohomology 群的例子。