仿射结构、圈积与线性非阿基米德树上的自由仿射作用

设 $\Lambda$ 为有序阿贝尔群, $\mathrm{Aut}^+(\Lambda)$ 为 $\Lambda$ 的保序自同构群, $G$ 为群, $\alpha:G\to\mathrm{Aut}^+(\Lambda)$ 为同态。 $G$ 在 $\Lambda$-树 $X$ 上的 $\alpha$-仿射作用是指满足 $d(gx,gy)=\alpha_gd(x,y)$ ($x,y\in X$, $g\in G$) 的作用。我们考虑在 $X=\Lambda$ 的情形下承认自由、刚性仿射作用的群类。此类群比等距情形下的相应类要大得多。我们特别证明了单位上三角群 $\mathrm{UT}(n,\mathbb{R})$ 以及 $\mathbb{R}$ 上对角元为正的上三角矩阵群 $T^*(n,\mathbb{R})$ 承认自由仿射作用。我们的证明涉及相应李代数上的左对称结构以及所涉群上的伴随仿射结构。我们还证明了给定有序阿贝尔群 $\Lambda_0$ 和 $\Lambda_1$ 以及 $G$ 在 $\Lambda_0$ 上的保向仿射作用,可在合适的 $\Lambda'$ 上得到圈积 $G\wr \Lambda_1$ 的此类作用。由此可知,所有自由可解群、剩余自由群以及局部剩余无挠幂零群都在某个 $\Lambda'$ 上承认本质自由的仿射作用。