关于平均意义下较小且在均值处为零的完全积性函数与 Riemann zeta 函数的无零点区域

在本短文中我们证明如下结果：若完全积性函数 $f:\mathbb{N}\to[-1,1]$ 在平均意义下较小，即对任意 $\delta>0$ 有 $\sum_{n\leq x}f(n)\ll x^{1-\delta}$，且若 $f$ 的 Dirichlet 级数（记为 $F(s)$）满足 $F(1)=0$，则对任意 $\epsilon>0$ 我们有 $\sum_{p\leq x}(1+f(p))\log p\ll x^{1-\delta+\epsilon}$。此外，此类 $f$ 存在的必要条件是 Riemann zeta 函数 $\zeta(s)$ 在半平面 $Re(s)>1-\delta$ 内无零点。