一般黎曼流形上的 Riesz 变换型乘性不等式

给定任意完备黎曼流形 $M$，我们证明：对每个 $p \in (1, 2]$ 和每个 $\epsilon > 0$，有 $$\| \nabla f \|_p^2 \le C_\epsilon \| \Delta^{\frac{1}{2} + \epsilon} f \|_{p}\| \Delta^{\frac{1}{2} - \epsilon} f \|_{p}.$$ 该估计与维数无关。该不等式甚至在子马尔可夫半群生成元的抽象框架下也被证明成立。