完备黎曼流形上的整体Calderón-Zygmund不等式

本文综述了关于完备黎曼流形$(M,g)$上泊松方程$\Delta u = f$光滑解的整体$W^{2,p}$正则性性质成立与失效的一些近期结果。我们回顾了在不同几何条件下，针对实值函数与流形值映射两种情况，为获得形如$\| \Hess(u) \|_{L^p} \leq C_1 \| u \|_{L^p} + C_2 \| f \|_{L^p}$的先验$L^p$-Hessian估计所发展的不同方法。我们也给出显式与某种隐式的反例，表明一般而言即使存在截面曲率下界，该积分不等式也可能不成立。同时还讨论了形如$\| \nabla u \|_{L^{p}} \leq C_1 \| u \|_{L^p} + C_2 \| f \|_{L^p}$的梯度估计的作用及其与$L^{p}$-Hessian估计的联系。