Ricci 下界下的 $L^{p}$ 梯度估计与 Calderón--Zygmund 不等式

本文中我们研究 Poisson 方程解的二阶与一阶 $L^{p}$ 估计的成立性，其依赖于底流形的几何。我们首先在 Ricci 张量以局部积分意义下界有界的假设下给出梯度的 $L^{p}$ 估计，并构造了首个反例说明一般而言在无曲率限制时它们不成立。接着，在假设注入半径为正且 Ricci 张量点或整体积分意义下非负时，我们在整个尺度 $1<p<+\infty$ 上得到二阶 Riesz 变换的 $L^p$ 估计（等价地，$L^{p}$ Calderón--Zygmund 不等式的成立性）。当 $1<p \leq 2$ 时，若还控制 Ricci 的适当阶导数，则可得更高阶 Riesz 变换的类似 $L^p$ 界。在同样的 $p$ 取值范围内，对于具有 Ricci 下界且谱底为正的流形，我们证明 Laplacian 的 $L^{p}$ 范数控制紧支函数上的整个 $W^{2,p}$-范数。